Szegedi Tudományegyetem - Ahol tudás és szándék találkozik

Az SZTE TTIK Bo­lyai In­té­zet tan­szék­ve­ze­tő egye­te­mi ta­ná­rá­nak elő­adá­sa so­ro­za­tos rejt­vé­nyek és fej­tö­rők se­gít­sé­gé­vel, illetve azok ma­te­ma­ti­kai ma­gya­rá­za­ta­i­val bi­zo­nyí­tot­ta a le­he­tet­lent. Fel­me­rült Leonard Euler ne­ve és a königs­ber­gi hi­dak pél­dá­ja, va­la­mint ez­zel a sík­ba raj­zol­ha­tó­ság prob­lé­má­ja is. Er­re a kér­dé­sé­re Kura­tows­ki té­te­le ad­ja meg a vá­laszt, mi­sze­rint egy alak­zat pon­to­san ak­kor raj­zol­ha­tó le a sík­ban, ha nem tar­tal­maz­za a 3 ház, 3 kút alak­za­tot, il­let­ve a tel­jes öt­szö­get.

Totik Vilmos: A lehetetlen hasznos is lehet.

Ezt kö­ve­tő­en a geo­met­ri­ai szer­kesz­tés­hez kap­cso­lód­va há­rom gö­rög prob­lé­má­val is­mer­ked­het­tünk meg. Az el­ső pél­da a koc­ka­ket­tő­zés volt, amely a le­gen­da sze­rint Délosz szi­ge­té­ről szár­ma­zik. Pes­tis­jár­vány tom­bolt a szi­ge­ten, és az em­be­rek a déloszi jós­dá­hoz for­dul­tak se­gít­sé­gül, ahol meg­tud­ták, hogy az­zal csil­la­pít­hat­ják le az is­te­nek ha­rag­ját, ha a koc­ka ala­kú ol­tárt a két­sze­re­sé­re nö­ve­lik. Mind­ezt úgy, hogy az ol­tár tér­fo­ga­tát dup­láz­zák meg csu­pán kör­ző és vo­nal­zó se­gít­sé­gé­vel. A fel­adat „meg­ol­dá­sa” azon­ban be­bi­zo­nyí­tot­ta, hogy a koc­ka­ket­tő­zés kör­ző­vel és vo­nal­zó­val le­he­tet­len.
A má­so­dik pél­da a szög­har­ma­do­lás prob­le­ma­ti­ká­ja volt, ahol a vé­gén szin­tén be­bi­zo­nyo­so­dott, hogy a szög­har­ma­do­lás is le­he­tet­len kör­ző­vel és vo­nal­zó­val. Ezt Pierre Lau­rent Wanz­tel (1814-1848) fran­cia ma­te­ma­ti­kus bi­zo­nyí­tot­ta be 1837-ben.
A har­ma­dik gö­rög prob­lé­ma a kör négy­szö­ge­sí­té­se. A fel­adat itt pon­to­san az, hogy egy adot­t, mond­juk egy­ség­su­ga­rú kör­höz kell meg­szer­kesz­te­ni an­nak a négy­zet­nek az ol­da­lát, amely­nek a te­rü­le­te meg­egye­zik az adott kör te­rü­le­té­vel. En­nek le­he­tet­len­sé­gét (az­az, hogy en­nek szer­kesz­té­se kör­ző­vel és vo­nal­zó­val le­he­tet­len) 1882-ben Fer­di­nand Lin­de­mann né­met ma­te­ma­ti­kus iga­zol­ta.
Az elő­adás má­so­dik ré­sze meg­is­mer­tet­te a leg­hí­re­sebb ma­gyar és kül­föl­di ered­mé­nye­ket. A ma­gya­rok ese­té­ben Bo­lyai Já­nos ne­vé­hez kö­tő­dik ez a di­cső­ség, aki meg­ala­poz­ta a nemeuk­lideszi geo­met­ri­át. Ahogy ő fo­gal­ma­zott: „A sem­mi­ből egy új, más vi­lá­got te­rem­tet­tem.”
A leg­hí­re­sebb ma­te­ma­ti­kai ered­mény pe­dig a Fer­mat-sej-téshez kap­cso­ló­dik, ami a kö­vet­ke­ző: „Le­he­tet­len egy köb­szá­mot fel­ír­ni két köb­szám ös­­sze­ge­ként, [...], ál­ta­lá­ban le­he­tet­len bár­mely ma­ga­sabb hat­ványt fel­ír­ni két ugyan­olyan hat­vány ös­­sze­ge­ként, iga­zán cso­dá­la­tos bi­zo­nyí­tást ta­lál­tam er­re a té­tel­re. A mar­gó azon­ban túl­sá­go­san kes­keny, sem­hogy ideírhat­nám…” Vé­gül 1995-ben And­rew Wiles bi­zo­nyí­tot­ta be a Fer­mat ál­tal a 17. szá­zad­ban csu­pán csak sej­te­tett le­he­tet­lent.
Az is ki­de­rült elő­adá­son, hogy a le­he­tet­len bi­zony hasz­nos is le­het. Azt tud­juk, hogy min­den szám fel­ír­ha­tó prím­szám­ok szor­za­ta­ként. (A prím­szám­ok olyan szá­mok, me­lyek nem ír­ha­tók fel két szám szor­za­ta­ként, pél­dá­ul: 17,23, 29.) Ugyan­ak­kor le­he­tet­len gyor­san meg­ta­lál­ni a szá­mok prím­té­nye­ző­it, ami fel­hasz­nál­ha­tó ar­ra, hogy nyi­tott csa­tor­nán (pél­dá­ul inter­neten) tit­kos ada­to­kat kó­dol­va to­váb­bít­sunk. Ezt az el­já­rást tesz­tel­ték is az­zal, hogy na­gyon ne­héz szá­mo­kat ad­tak meg, és aki eze­ket meg­fej­tet­te (meg­ta­lál­ta a prím­té­nye­ző­ket), az pénz­ju­ta­lom­ban ré­sze­sült. Mind­emel­lett ez­zel be­bi­zo­nyí­tot­ták, hogy ez a rend­szer elég biz­ton­sá­gos, leg­alább­is je­len­leg.
Az óra har­ma­dik ré­szé­ben meg­is­mer­tük a Banach–Tarski-paradoxont, s ar­ra is fény de­rült, ami va­ló­szí­nű­leg so­kak fan­tá­zi­á­ját meg­moz­gat­ja és ke­dé­lyét fel­bor­zol­ja, hogy még a de­mok­rá­cia is le­he­tet­len...

T. B.